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Econofísica. Parte II. Leyes potenciales
Economía
Tanto en la Ingeniería como en la Física hay un concepto importante que los economistas ignoran: la escala. En cualquier sistema existe una medida característica que define a todos sus elementos, la cantidad en esta medida puede utilizarse para ordenar a sus elementos. Podemos ordenar los países por su PIB, los ciudadanos por su renta, los ordenadores por su capacidad de cálculo... Podemos hacer dos límites para entender los sistemas por sus escalas: los que tienen sólo una o los que tienen infinitas (o muchas).
Las escalas se separan entre ellas por ordenes de magnitud. Si una medida puede tener valores entre 1 y 100 significa que su rango de escalas tiene una "anchura" de dos ordenes de magnitud. Entonces el límite anterior se puede formular con la "anchura" de su rango de escalas. La altura de los seres humanos adultos en centímetros tiene sólo una escala. No encontraremos hombres de 10 cm ni de 1000 cm, todos estarán entorno a los 100. Para la escala da igual que la media esté entorno a 170 o que en cierta aldea centroamericana veamos individuos de 120cm. Lo importante es el orden de magnitud. La potencia de los ordenadores del mundo o el PIB de las naciones del mundo tiene una "anchura" de varios ordenes de magnitud. Pongamos como ejemplo los ordenadores del mundo, la medida que los ordena es la cantidad de operaciones que pueden realizar por segundo de forma sostenida (flops). Un teléfono móvil hará entorno a 106flops, mientras que el CRAY Jaguar, el ordenador más potente del planeta, está entorno a las 1015. La potencia de cálculo de los ordenadores del mundo tiene una "anchura" de nueve ordenes de magnitud.
Las medidas que muestran varios ordenes de magnitud se llaman "escalables" y las que sólo tienen uno se llaman "no escalables". Los subsidios de desempleo no son escalables mientras que los sueldos de los directivos de un banco son escalables. Esta es una diferencia esencial puesto que las herramientas de análisis de las medidas escalables son completamente distintas de las escalables.
Forma de las variables no escalables
Cuando algo no es escalable todas las medidas se concentran en un rango muy corto de valores. Presentan una tendencia central muy fuerte y cuando nos alejamos de ese centro es más difícil encontrar casos. La manera más sencilla de describir este tipo de variables es dando una medida central y una medida de la desviación.
¿Cuál es el valor más probable en una variable no escalable? Pues seguramente algo parecido a la media de los valores anteriores. La forma matemática de modelar esa probabilidad es mediante una función densidad de probabilidad y la más repetida en medidas muy "centrales" es la distribución "normal" de Gauss.
N(x;μ,σ)=(2πσ)-1/2exp((μ-x)2/(2 σ2))
Esta distribución se define únicamente por μ y σ que son respectivamente la media y la desviación típica. Como sirve para una medida central y no escalable la probabilidad de encontrar una coincidencia a partir de 4σ es remota. Las matemáticas se traducen en que es imposible encontrar a un ser humano de 3 metros de altura.
La forma de las variables escalables
Las variables no escalables tienden a ser simples mientras que algo que puede tomar valores tan dispares está disfrazado de complejidad. ¿Cómo se ordena algo que puede ser muy grande y muy pequeño a la vez? ¿Qué tiene de especial la ley de Pareto para que sea el orden natural de las variables escalables? La clave que hace que la ley de Pareto se repita una y otra vez es la semejanza de escalas.
Si ordenamos la potencia de los 500 mayores ordenadores del mundo obtenemos lo siguiente
La ley de Pareto encaja perfectamente. ¿Pero qué tiene que ver esto con la semejanza de escalas?Lo entenderemos mejor si hacemos unos cuantos números. La fdp de una ley de pareto es
p(x) = α C / x α+1
En esta distribución la probabilidad de que el próximo cluster instalado sea de entre 10 y 100 teraflops es 5 veces mayor que sea entre 100 y 1000. A su vez es 25 veces mayor (52) que entre 1000 y 10000. La relación entre las escalas se mantiene constante; se parecen.
Hay cierto interés en demostrar que la semejanza de escalas minimiza la información de un sistema de la misma manera que el equilibrio termodinámico. Como no he conseguido entender bien estos papers he decidido no contar esta parte. Aunque la causa no sea del todo clara sí es evidente que se repite una y otra vez como fenómeno natural.
La confusión mortal
Confundir variables escalables y no escalables es desde el punto de vista matemático un puro suicidio. Si volvemos al grupo de datos anterior la media de la potencia de todos los ordenadores es de 45.215 teraflops y la desviación típica 92.852. Las leyes potenciales hacen probables valores mucho mayores y mucho menores de los que se esperaría en una variable no escalable. Los dos valores máximos están a una distancia de 12σ, cuya probabilidad sería prácticamente cero si se tratara de una variable no escalable. Sin embargo existen.
En el siguiente artículo hablaré de la importancia de la existencia de estos valores extremos.
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Ingeniería
Tanto en la Ingeniería como en la Física hay un concepto importante que los economistas ignoran: la escala. En cualquier sistema existe una medida característica que define a todos sus elementos, la cantidad en esta medida puede utilizarse para ordenar a sus elementos. Podemos ordenar los países por su PIB, los ciudadanos por su renta, los ordenadores por su capacidad de cálculo... Podemos hacer dos límites para entender los sistemas por sus escalas: los que tienen sólo una o los que tienen infinitas (o muchas).
Las escalas se separan entre ellas por ordenes de magnitud. Si una medida puede tener valores entre 1 y 100 significa que su rango de escalas tiene una "anchura" de dos ordenes de magnitud. Entonces el límite anterior se puede formular con la "anchura" de su rango de escalas. La altura de los seres humanos adultos en centímetros tiene sólo una escala. No encontraremos hombres de 10 cm ni de 1000 cm, todos estarán entorno a los 100. Para la escala da igual que la media esté entorno a 170 o que en cierta aldea centroamericana veamos individuos de 120cm. Lo importante es el orden de magnitud. La potencia de los ordenadores del mundo o el PIB de las naciones del mundo tiene una "anchura" de varios ordenes de magnitud. Pongamos como ejemplo los ordenadores del mundo, la medida que los ordena es la cantidad de operaciones que pueden realizar por segundo de forma sostenida (flops). Un teléfono móvil hará entorno a 106flops, mientras que el CRAY Jaguar, el ordenador más potente del planeta, está entorno a las 1015. La potencia de cálculo de los ordenadores del mundo tiene una "anchura" de nueve ordenes de magnitud.
Las medidas que muestran varios ordenes de magnitud se llaman "escalables" y las que sólo tienen uno se llaman "no escalables". Los subsidios de desempleo no son escalables mientras que los sueldos de los directivos de un banco son escalables. Esta es una diferencia esencial puesto que las herramientas de análisis de las medidas escalables son completamente distintas de las escalables.
Forma de las variables no escalables
Cuando algo no es escalable todas las medidas se concentran en un rango muy corto de valores. Presentan una tendencia central muy fuerte y cuando nos alejamos de ese centro es más difícil encontrar casos. La manera más sencilla de describir este tipo de variables es dando una medida central y una medida de la desviación.
¿Cuál es el valor más probable en una variable no escalable? Pues seguramente algo parecido a la media de los valores anteriores. La forma matemática de modelar esa probabilidad es mediante una función densidad de probabilidad y la más repetida en medidas muy "centrales" es la distribución "normal" de Gauss.
Esta distribución se define únicamente por μ y σ que son respectivamente la media y la desviación típica. Como sirve para una medida central y no escalable la probabilidad de encontrar una coincidencia a partir de 4σ es remota. Las matemáticas se traducen en que es imposible encontrar a un ser humano de 3 metros de altura.
La forma de las variables escalables
Las variables no escalables tienden a ser simples mientras que algo que puede tomar valores tan dispares está disfrazado de complejidad. ¿Cómo se ordena algo que puede ser muy grande y muy pequeño a la vez? ¿Qué tiene de especial la ley de Pareto para que sea el orden natural de las variables escalables? La clave que hace que la ley de Pareto se repita una y otra vez es la semejanza de escalas.
Si ordenamos la potencia de los 500 mayores ordenadores del mundo obtenemos lo siguiente
La ley de Pareto encaja perfectamente. ¿Pero qué tiene que ver esto con la semejanza de escalas?Lo entenderemos mejor si hacemos unos cuantos números. La fdp de una ley de pareto es
En esta distribución la probabilidad de que el próximo cluster instalado sea de entre 10 y 100 teraflops es 5 veces mayor que sea entre 100 y 1000. A su vez es 25 veces mayor (52) que entre 1000 y 10000. La relación entre las escalas se mantiene constante; se parecen.
Hay cierto interés en demostrar que la semejanza de escalas minimiza la información de un sistema de la misma manera que el equilibrio termodinámico. Como no he conseguido entender bien estos papers he decidido no contar esta parte. Aunque la causa no sea del todo clara sí es evidente que se repite una y otra vez como fenómeno natural.
La confusión mortal
Confundir variables escalables y no escalables es desde el punto de vista matemático un puro suicidio. Si volvemos al grupo de datos anterior la media de la potencia de todos los ordenadores es de 45.215 teraflops y la desviación típica 92.852. Las leyes potenciales hacen probables valores mucho mayores y mucho menores de los que se esperaría en una variable no escalable. Los dos valores máximos están a una distancia de 12σ, cuya probabilidad sería prácticamente cero si se tratara de una variable no escalable. Sin embargo existen.
En el siguiente artículo hablaré de la importancia de la existencia de estos valores extremos.